Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появилась новая мировая постоянная, обозначенная буквой h и названная элементарным квантом действия. Элементарным она была названа потому, что определяла самую малую энергию, которую может нести с собой электромагнитное излучение.

Слово квант происходит от латинского слова quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). h называют теперь постоянной Планка, и её наиболее точное значение равно:

Вместо h физики чаще пользуются другой величиной, которая в 2π раз меньше. Её также называют постоянной Планка и обозначают:

Формула Планка записывается так:

Здесь E — наименьшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которую может испустить или поглотить атом, молекула или кристалл при заданной частоте излучения ν. Для видимого света частота определяет «цвет» света: синему цвету соответствует большая частота, красному — меньшая. Частота колебаний излучения связана с длиной волны λ соотношением:

Таким образом, постоянная Планка связывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение E к ν есть всегда величина постоянная.

Эти две формулы — самые короткие и самые знаменитые формулы современной физики. Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказалась столь важной.

---

С чего всё началось?

Если пропустить свет через призму, то на экране, поставленном за ней, возникнет разноцветный спектр. (Его впервые наблюдал Ньютон.) Позже узнали, что спектр даёт не только солнечный свет, но и излучение от любого нагретого тела. Чем выше температура тела, тем больше в спектре синих лучей. Не очень нагретое тело (градусов до 500 °C) — красного цвета, сильно нагретое (до 1000 °C) — белого. Постепенно перед исследователями встали два вопроса: как зависит спектр тела от его температуры и как распределяется энергия вдоль спектра?

Если к разным местам спектра приложить термометры, то можно измерить, какая доля энергии приходится на каждый участок спектра. Ещё лучше взять не термометры, а прямо калориметры. Измеренные количества тепла, которые падают, скажем, на полоску спектра шириной в 1 см, и будут теми величинами, которые нам нужны. Геометрическая длина спектра зависит от расстояния до экрана, поэтому обычно измеряют энергию, упавшую не на 1 см, а на участок спектра, соответствующий определённой частоте излучения ν или определённой длине волны λ.

Отношение величины энергии, сосредоточенной в узкой полоске спектра на участке частот в промежутке от ν до ν + Δν, к Δν называют спектральной плотностью энергии или просто спектральной функцией и обозначают f(ν).

Какой вид имеет спектральная функция f(ν)? Ясно, что она зависит от температуры тела. Вообще говоря, f(ν) разная и у разных тел. Как же определить вид спектральной функции? Это была трудная задача, и чтобы рассказать о том, как она решалась, придётся начать издалека. Но сначала ещё несколько слов о спектральной функции.

При подсчёте количества воды мы сталкиваемся с новой величиной, которая описывает интенсивность непрерывного процесса. Спектральная функция имеет аналогичный смысл; она определяет отношение количества энергии в полоске спектра к ширине этой полоски, когда ширина полоски взята очень маленькой.

С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разбить на два совершенно разных класса. Движение материальных точек и твёрдых тел описывалось уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определять траектории движения тел, например, планет Солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траекторий. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относились к механике сплошных сред, и ими занимались гидродинамика, аэродинамика, теория упругости и другие разделы механики.

Сплошная среда и система материальных точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течении воды, и выделяли мысленно небольшой объём жидкости, то этот объём никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).

Волны в воде или в воздухе и планета, движущаяся вокруг Солнца, имели, казалось, мало общего. Всё было ясно, вот только в оптике оставался нерешённым вопрос: что такое свет? Поток мельчайших частиц, как это думал Ньютон — сторонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волновой оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользу одной из них: свет в одних явлениях вел себя, как поток корпускул, в других — как волны. Сейчас мы хорошо знаем, что в этом нет противоречия — поверить в это стало возможным лишь благодаря квантовой теории.

---

Степени свободы

Разница между системой материальных частиц и сплошной средой выступает очень чётко, если посмотреть, каким числом координат задаётся состояние системы.

Положение каждой точки в пространстве задаётся тремя координатами. Говорят, что материальная точка имеет три степени свободы. Если в систему входит N материальных точек, то говорят, что она имеет 3N степеней свободы.

Такое же рассуждение можно провести и для скоростей. Скорость одной точки описывается тремя числами — тремя компонентами вектора скорости. Скорости N точек требуют для своего описания 3N чисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа — вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Даже тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, сосчитав молекулы, не облегчает задачу: молекул настолько много, что практически число степеней свободы остаётся бесконечно большим.

В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например, от идущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, используя сравнительно немного чисел. Мы можем задавать величину амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но всё же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые.

В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы можем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидуальных степеней свободы, скажем, отдельной молекулы воды.

Такое же коллективное описание можно использовать, рассказывая о свойствах света. В частности, мы так и делаем, когда пытаемся описать распределение энергии по спектру.

Свет — волновой процесс, и его описание проще всего выглядит с позиций волновой теории. Конечно, подобное описание света совсем непохоже на описание системы точек. Здесь нет даже намёка на какие-то степени свободы — волны и частицы совсем непохожи друг на друга. Но это всё-таки не совсем так. У волн и частиц есть общие свойства. Это, прежде всего, те, которые проявляются, когда мы начинаем изучать тепловые явления и думать, как распределяется между волнами и частицами тепловая энергия.

---

Температура и теплоёмкость

Рассмотрим газ, находящийся в нагретом сосуде. Мы знаем, что температура газа и стенок сосуда должна быть одинаковой. Если это вначале было не так, то тепло будет до тех пор перетекать от более тёплого тела к более холодному, пока температуры не станут равными, то есть пока не установится тепловое равновесие между стенками сосуда и находящимся в нём газом.

Температура газа связана с кинетической энергией его атомов. Один из самых первых выводов кинетической теории газа состоял в том, что каждый атом газа обладает энергией (3/2)kT — по (1/2)kT на каждую степень свободы, а полная энергия одной молекулы равна (3/2)kT.

Представим себе, что у нас есть сосуд (как говорили раньше — «полость»), в котором нет газа. Однако в таком сосуде всегда будет электромагнитное поле. Электромагнитные волны излучаются и поглощаются стенками, и эта энергия как-то будет распределена по спектру. Если стенки сосуда имеют какую-то фиксированную температуру, то распределение энергии будет, очевидно, различным при разных температурах. Мы можем изучить поле внутри сосуда, сделав в нём маленькое отверстие и выпустив пучок света.

Когда впервые начали обсуждать свойства такой «полости», то заметили, что если свет снаружи попадает в отверстие, то он, очень много раз отразившись от стенок и «заблудившись», почти не будет иметь шансов выйти наружу. Отверстие поглощает весь падающий на него свет, поэтому тело и назвали «чёрным», а свет, который выходит из отверстия, назвали «излучением чёрного тела» (так что «чёрное тело» светится!).

Представьте теперь, что «чёрное тело» нагревают. Тогда можно задать вопрос: какое количество тепловой энергии перейдёт в свет? Ответ на него был дан в конце XIX века и состоял в том, что свет, заключённый внутри «чёрного тела», должен находиться в тепловом равновесии со стенками сосуда. Это равновесие устанавливается и поддерживается процессами излучения и поглощения световых волн нагретыми стенками (сколько излучают, столько же поглощают обратно), а количество энергии и её спектральная плотность полностью определяются только одним параметром — температурой.

Если в сосуде, в котором установилось тепловое равновесие, есть маленькое отверстие, то световые волны будут выходить из него. Количество энергии, выходящее из отверстия «чёрного тела», определяется законом Стефана — Больцмана. Согласно этому закону количество энергии, излучаемое «чёрным телом» с единицы поверхности отверстия, пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры и не зависит от природы тела:

Закон Стефана — Больцмана был хорошо проверен экспериментально. Опыты подтвердили, что к излучению можно применять те же понятия — энергия, температура, — которые используются при описании тепловых свойств газа в кинетической теории.

---

Формула Вина и формула Релея — Джинса

Теперь пора вернуться к вопросу, который был поставлен в начале статьи: как получить из теории спектральную функцию, которая описывает распределение энергии излучения по спектру, и как она зависит от температуры?

Прежде всего этот вопрос попробовали решить по аналогии, но аналогия с газом не помогла. Число степеней свободы светового потока, как их ни считай, бесконечно велико, и если на каждую степень свободы выделить по одинаковой порции энергии, скажем, по kT, то общая энергия будет бесконечной при любой конечной температуре. Рассуждение «по аналогии» приводит нас к абсурдному выводу, что вся тепловая энергия стенок должна перейти в электромагнитные волны, так что температура всех предметов должна стремиться к абсолютному нулю.

Точные физические измерения говорят, что при каждой температуре тело излучает волны в сравнительно узком интервале спектра. Максимальная энергия излучения сосредоточена вблизи длины волны, которая определяется так называемым законом Вина:

Этот закон был открыт в 1893 году. Закон Вина показывает, что с нагреванием тела максимум спектра смещается в сторону меньших длин волн, то есть в сторону больших частот (этот закон часто так и называют законом смещения).

Итак, закон Стефана — Больцмана говорит о полной энергии излучения, а закон Вина — о положении максимума в спектре. Другими словами, известно, где спектральная кривая имеет максимум и какова площадь под кривой. Настала очередь обсудить более подробно форму этой кривой.

К началу XX века существовали две формулы, с помощью которых пытались описать форму кривой распределения энергии по спектру. Одну из них предложили два англичанина — это формула Релея — Джинса:

Сравнение с опытом показало, что формула Релея — Джинса правильно описывает спектр только для самых малых частот (слева от максимума кривой).

Если посмотреть на эту формулу с точки зрения числа степеней свободы, то можно дать ей красивое объяснение. Формула Релея — Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра Δν содержит 8πν²/c³ степеней свободы, на каждую из которых приходится тепловая энергия kT. Однако эта эффектная интерпретация порочна. Число степеней свободы быстро растёт, если переходить ко всё большим частотам в ультрафиолетовую часть спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр. То есть и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой частотой.

Этот странный вывод носил драматическое название «ультрафиолетовой катастрофы», так как демонстрировал полный провал попыток объяснить свойства спектра, оставаясь в рамках понятий классической физики.

Другую формулу предложил уже известный нам Вин в 1890 году:

Формула Вина описывала ультрафиолетовую часть спектра, но была беспомощна, когда речь заходила о длинноволновой его части.

Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привёл к рождению новой физики.

---

Формула Планка

Сейчас трудно восстанавливать ход мыслей физиков, живших много лет тому назад. По-видимому, Планк просто искал какую-нибудь формулу, которая объединила бы вместе всё, что было известно о спектре «чёрного тела». Пробуя разные подходы, он в конце концов пришёл к выводу, что надо рассматривать свойства атомов, из которых состоит стенка и которые излучают свет.

Гипотеза Планка состояла в том, что излучающие атомы могут иметь не любую энергию, а только энергию, равную целому числу hν, где ν — частота колебаний атома. Отсюда уже получилось, что атом может излучать свет только квантами (хотя эту связь фактически поняли несколько позже).

Планк записал свою формулу так:

где n(ν) — среднее число квантов, равное:

Последняя формула может показаться не совсем точной, так как из неё n(ν) получается не целым. В этом ничего страшного нет, так как формула даёт среднее число квантов. Например, если в каком-то объёме половину времени есть один квант, а половину времени квантов нет совсем, то среднее число квантов равно ½.

Формула Планка отличается от формулы Релея — Джинса тем, что её нельзя объяснить с точки зрения степеней свободы. Если считать, что каждый квант имеет три степени свободы, то число степеней свободы системы, равное 3n(ν), оказывается функцией температуры: число степеней свободы растёт с повышением температуры. Вывод абсурдный с точки зрения старых представлений о свойствах частиц. Но именно в этом нарушении привычной логики и лежал выход из тупика. Ведь количество излучающих частиц может и не быть строго определённым числом; оно может изменяться с изменением условий.

В тот вечер, когда Планк делал свой доклад, никто не думал о рождении новой физики. На формулу посмотрели с практической стороны и сразу же (в ночь после доклада) сравнили график, даваемый новой формулой, с кривыми, полученными из опыта. Оказалось, что формула Планка хорошо описывает весь спектр.

Для той части спектра, где hν/kT велико, можно вычеркнуть единицу в знаменателе формулы, по которой вычисляется число квантов n(ν): эта единица мала по сравнению с первым членом. Тогда формула Планка превратится в формулу Вина. Из сопоставления двух выражений можно заключить, что коэффициенты в формуле Вина равны:

Планк, сравнивая свою формулу с формулой Вина, дал первое значение постоянной h. Он получил, что h = 6,55·10⁻²⁷ эрг·с. Даже удивительно, как мало отличается значение h, вычисленное Планком, от современного.

При малых значениях ν в формуле Планка можно произвести следующую замену:

Тогда получится в точности формула Релея — Джинса. Используя формулу Планка, можно получить и закон Стефана — Больцмана. Постоянная этого закона σ выражается через h формулой:

В рассуждениях Планка квант сам по себе не появлялся — речь шла о системах, состоящих из большого числа квантов, для излучения которых применялись методы статистики. Но ещё в 1887 году Герцем было открыто явление (изученное подробно Столетовым), в котором квантовые свойства света проявлялись очень чётко. Речь идёт о фотоэффекте — вылете электронов из куска металла при освещении его светом. На этом эффекте построены многие приборы: телевизор, осциллограф, фотоэкспонометр и т. д.

Фотоэффект обнаруживает закономерность, которая выглядела парадоксальной для физика прошлого века. Энергия электронов, которые вырываются из металла, не зависит от интенсивности света. Если увеличивать интенсивность света, то возрастает число вырванных электронов, энергия же их остаётся неизменной. Для того чтобы увеличить энергию вылетающих электронов, необходимо увеличить частоту падающего света.

Сейчас мы знаем, что электрон не может постепенно поглощать и накапливать энергию, как это думали раньше, а может поглощать её только квантами. Энергия же кванта определяется частотой. Отсюда следовало объяснение фотоэффекта, которое дал Эйнштейн в 1905 году.

В начале XX века было хорошо известно, что для того, чтобы вырвать электрон из металла, надо затратить определённую энергию; она называется работой выхода. Так, для вольфрама эта работа равна примерно 4,6 эВ, для цезия — около 2 эВ, для платины — около 6 эВ. Остальные металлы имеют промежуточные значения работы выхода.

Сказанное можно записать в виде формулы, которая носит имя Эйнштейна:

После фотоэффекта квантовый характер поглощения и излучения был открыт в очень многих явлениях. В наиболее общем виде он сформулирован в известном соотношении Нильса Бора:

Смысл его состоит в том, что если излучающая система переходит из состояния с энергией E₂ в состояние с энергией E₁, то она излучает квант с энергией hν. Естественно, что если система, находясь в состоянии с энергией E₁, поглотит квант hν, то она перейдёт из состояния E₁ в состояние E₂.

---

Второе открытие кванта

Открытие Планка состояло в том, что он постулировал дискретный (квантовый) характер излучения и поглощения. Однако сам Планк не высказал никаких соображений о том, как же ведёт себя испущенное излучение. Лишь Эйнштейн доказал, что из гипотезы Планка и теории относительности следует реальное существование кванта, то есть что свет не только поглощается или излучается квантами, но что он сам состоит из квантов.

Излучая квант, тело теряет свою энергию, которая передаётся свету. Значит, свет, согласно теории относительности, уносит и массу тела. Массу кванта можно получить, скомбинировав две формулы: E = hν и E = mc². Из них:

Лучше говорить, как это принято, что квант имеет количество движения p = mc, то есть:

Количество движения p, конечно, вектор: он направлен туда, куда летит квант. Энергия кванта связана с его импульсом соотношением E = cp. Таким соотношением описываются частицы, у которых равна нулю масса покоя.

---

Комптон-эффект

Во всём предыдущем оставался ещё один пункт, не проверенный опытом. Если квант обладает и энергией, и импульсом, то выполняются ли для него законы сохранения энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопрос никто не сомневался, всё же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной.

Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящийся электрон. Комптон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает отдачу, то есть электрон получает от кванта импульс, а во-вторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественно картина была похожей на столкновение частиц. Но Комптон показал и больше: он показал, что энергия и количество движения электрона и кванта в конце соударения как раз такие, какие получаются из уравнений, описывающих законы сохранения.

---

Заключение

---